加州数学框架：教学改革与争议

州教育委员会本周准备批准一份近 1,000 页的数学教学指导，其雄心勃勃且备受争议的目标是改变加州的数学教学方式。在加州，只有三分之一的学生——以及五分之一的低收入学生——在最新的州标准化考试中达到了标准。

随着新教材的采用，可能需要数年时间对教师进行大规模的强化培训，其规模是几十年来该州未曾资助过的，才能清楚地看到修订后的《加州公立学校数学框架》是否会提高学生的参与度和成就。许多教师对此充满信心，但也有怀疑者。

修订后的框架酝酿了近四年。第三个版本，也可能是最后一个版本，为了回应 900 多条评论和支持或反对的请愿，花了 14 个月才完成。它是由一群与 WestEd 的 15 区综合中心合作的新作者起草的，WestEd 是一家位于旧金山的、由加州教育部合同委托的研究和服务机构。

州教育委员会于 6 月 26 日发布了新草案；它只在 7 月 7 日中午之前接受评论。在计划于周三举行的最终听证会之后，预计董事会将通过该草案，可能略有修改。

其中将敦促董事会通过最终草案的人员包括 Kyndall Brown，他是一位前高中数学教师，也是州资助的加州数学项目全州办公室的执行主任。Brown 表示，他对该框架的“精神”保持不变感到高兴，并补充说：“作为加州的教育工作者，这是我见过的最注重公平的数学框架。”

他说：“该框架最大、最强的部分是关于教学和构建学校体验以实现公平和参与的章节。”“数学教育界，也就是我经常与之互动的人，都支持该框架，我们准备好继续前进并实施它。”

该框架的建议是自愿的，但它们极大地影响了学区和教师的决策，并作为教材出版商的指导方针。前两个草案引起了全国关注，部分原因是加州拥有 580 万学生，是教材出版商的美国最大、利润最高的市场。框架的作者明确表示（见第 13 章），出版商必须遵守其指导方针才能进入批准出版商的名单。

但拟议的框架也在关于数学教学的长期辩论中增加了另一个转折点。数学传统主义者警告说，一项拟议的以学生为中心、基于探究的“大概念”驱动的教学策略，该策略弱化了对记忆和对程序的关注，将使大多数学生失败。[pullquote size='medium' align='right' citation="Kyndall Brown, executive director, California Mathematics Project Statewide Office”]‘该框架最大、最强的部分是关于教学和构建学校体验以实现公平和参与的章节。’[/pullquote] 数千名大学 STEM 专业人士签署了请愿书，批评一项拟议的高中途径，该途径似乎更倾向于数据科学而不是传统的微积分课程序列，微积分是攻读科学、技术、工程和数学专业的大学生的必修课。有高级数学技能的学生的家长以及签署相关请愿书的另外 6,000 人对该框架不鼓励学区从八年级开始学习代数感到愤怒。尽早开始学习将使学生在高中毕业前更容易融入微积分课程。

作为回应，新作者确实取消了对新数据科学途径的要求；相反，他们将数据技能融入到整个年级的数据教学中。他们还做了一些努力来澄清混淆，将所有 21 世纪学生都需要的数据素养课程与一门更严格、更注重数学的数据科学课程混为一谈，后者将与微积分一起为学生做好大学数据科学专业的准备。

然而，该框架没有讨论的是一场相关的争议，这场争议正在困扰着加州大学和加州州立大学的教职员工，争议内容是，越来越多的 UC 授权的数据科学课程，其高级数学内容最少，是否会使学生无法为大学里注重数学的课程做好准备。

上周，负责监督高中课程资格的加州大学教职员工参议院委员会（称为 BOARS）公开承认，它对批准的课程有些犹豫。在 7 月 7 日致州教育委员会的信中（PDF），BOARS 的主席要求修订后的框架删除文本和图表中表明数据科学课程可以替代代数 II 数学要求的参考文献（见下文）。该信表明 BOARS 计划进一步调查该问题。

最新修订版的作者重新措辞或删除了先前版本中关于神经科学和其他主题的一些引用。一些引用的工作支持数学教学专家（包括斯坦福大学数学教育学教授 Jo Boaler，他是原始框架的作者团队之一）推广的教学方法。

至少有一些希望一年工作能解决他们提出的众多问题的批评者仍然不满意。其中最多产（如果不是最有影响力）的批评者，斯坦福大学数学教授兼本科生研究主任 Brian Conrad 再次呼吁拒绝该框架，原因是他所引用的不足之处。

在他一年前长篇评论的九页更新中，他指出了仍然存在的引用失实和不一致之处，这些失实和不一致之处可能导致对框架和数据科学问题的相互矛盾的解释。“关键问题依然存在，而且（框架）未能达到制定全州教育政策的文件的标准，”他上周在一份公开评论中写道。

哲学保持不变

过去一年大部分的努力都用于澄清、缩短和重新组织这份庞大的文件。重写的重点是大约六个章节，包括前两个章节，阐述了如何培养对数学的积极心态，例如相信所有学生都可以在数学方面取得成功，并利用学生的多样化背景作为“文化资产”。对教师有用的、使章节加长的摘要被移至附录。最重要的是，新草案并没有放弃其主要任务，即让数学对许多学生具有吸引力和相关性，特别是当他们进入中学时，这些学生认为数学是抽象且难以理解的。这是教师焦点小组、一个名为课程框架和评估标准委员会的加州教育工作者咨询小组以及州教育委员会的指导。

使用“开放、引人入胜的任务”和“邀请学生提问和猜想”将是该框架引用的满足不同学生需求的课堂策略之一；另一个是“争取社会正义”，例如创建学生无家可归的图表或对社区的空气和地面污染物进行数据分析。

Boaler 在 6 月 29 日与原始草案的作者举行的一次网络研讨会上表示：“争取社会正义实际上是关于使用真正突出世界某些不平等现象的活动和讨论。”

不鼓励八年级代数

早期的作者没有参与最新的重写，但在网络研讨会上，他们普遍赞扬了结果。奇科州立大学科学与数学教学中心联合主任兼早期框架的五位作者的负责人 Brian Lindaman 表示，根据他阅读的章节，“我总体上喜欢并欣赏这些变化”，包括改进了“可读性、流畅性和一致性”。

修订后的框架也没有放弃之前的建议，即几乎所有学生都不应该在九年级之前学习代数 I。它确实承认“一些学生将准备好加速”进入八年级的代数 I，从而使他们能够更容易地进入高中的高级课程。但应测试这些学生的代数准备情况，并且学校应考虑为他们提供暑期课程，比如 Bob Moses 的代数项目，该项目已成功地为代表性不足的学生准备了代数，该框架指出。[pullquote size='medium' align='right' citation="Cole Sampson, administrator of professional learning and student support, Kern County superintendent’s office”]‘如果我们能等到至少八年级再阻止追踪，我们就会给更多的孩子提供机会，让他们留在能够获得高级数学课程的道路上。’[/pullquote]学区有权决定哪些学生可以在八年级学习代数；2015 年的一项州法律《数学安置法》要求学区采用客观标准来安排学生参加数学课程，并一贯地应用其政策。但许多学区将听从该州的领导。

为了阻止在八年级广泛入学代数，该框架描绘 STEM 和非 STEM 课程途径的图表中省略了八年级代数作为一种选择。为了证明其立场，该框架引用了加州在 21 世纪初的经历，当时该州迫使学区开设八年级代数课程；研究表明，许多学生没有准备好，最终重复了这门课程，结果也没有改善。“许多学生的成功被破坏了，”该框架说。

但 Conrad 反驳说，旧金山联合学区最近的经验迫使所有学生在九年级学习代数，“彻底失败，加剧了它旨在预防的不平等，并且特别具有误导性，因为这个国家面临 STEM 专业人员的严重短缺。”

数学方面的“共同的九年级经历”也是一种防止追踪的策略，即早在小学就识别潜在的优秀数学学生。这可能会产生阻碍未被追踪的学生的自我形象、抱负和能力的效果。Brown 说，这些学生主要是低收入的黑人和西班牙裔儿童，往往最终会得到最没有启发性的课程和经验最少的老师。他说，追踪的有害影响是真实存在的。

肯恩县学区办公室专业学习和学生支持管理人员、教育咨询小组的成员 Cole Sampson 说：“如果我们能等到至少八年级再阻止追踪，我们就会给更多的孩子提供机会，让他们留在能够获得高级数学课程的道路上。”

但是，将准备好学习代数的学生放在一个技能范围广泛的异质课堂上，可能会增加对教师的挑战。这也剥夺了准备好学习代数的八年级学生进入高中数学课程的先机。为了学习微积分，他们现在必须加倍学习数学课程，参加暑期课程或参加具有挑战性的压缩数学课程，如果幸运的话，还可以获得补充帮助。对于身兼数职的低收入学生来说，阻碍他们加速发展的障碍可能会迫使他们放弃在大学中攻读 STEM 专业。

通往微积分的捷径

作为八年级代数的替代方案，该框架建议成立一个工作组，调查是否可以通过消除现有课程内容中的冗余，将四门课程——代数 I、几何学、代数 II 和预微积分——减少到三门，并在高三时达到高级数学，例如微积分。

Brown 相信这是可以做到的。Conrad 持怀疑态度，他指出该框架的起草者已经有三年时间提出替代方案，但尚未提出。加州州立大学北岭分校数学教授、发展数学系主任 Katherine Stevenson 发现自己处于两者之间：在考察学生在 2030 年需要什么标准之前，不可能先通过 2013 年的共同核心数学标准来简化课程序列，然后再根据这些标准重新设计课程序列。

大多数学生在大学里不主修 STEM 或学习微积分。高中数学面临的最大挑战是设计课程，让学生能够“对他们的未来做出选择”，正如框架所说，为他们提供“更多机会来做出反映他们的兴趣和抱负的选择”。学区有相当大的自由度来设计三年级和四年级课程，并且该框架引用了金融代数，其严格程度与代数 II 相当，学生可以在其中进行与个人理财相关的数学建模。另一个是过渡到大学数学和统计学 (PDF)，Stevenson 与洛杉矶联合学区合作设计。它为高中生提供了数学实践，比如阅读和解释来自双向频率表和条形图的数据，这些学生不确定自己对大学的计划。

目标应该是灵活性，保持学生的选择开放。该框架引用了学生的旅程示例：一位计划主修非 STEM 平面艺术的学生发现自己对软件应用程序感兴趣，因此她在高三时参加了预微积分课程和一门支持课程，为自己的大一微积分和编程课程做准备。在完成标准的前两年数学学习后，另一位计划在毕业后在制造车间工作的学生参加了一门建模课程，以了解三维打印的数学知识。

高中课程顺序引起了最多的争议，但潜在的教学策略可能会对框架产生最大的影响。这种方法，学术界称之为建构主义，是 1990 年代初在加州采用的数学标准的根本，后来在 1997 年的基层抗议之后被放弃。虽然这些变化不会是新的，但它们可能会是剧烈的，从根本上颠覆课堂教学。

该框架定义了对比教师“非生产性”和“生产性”角色的信念的差异。

前者，在许多课堂上都能找到，是“告诉学生他们应该知道哪些确切的定义、公式和规则，并演示如何使用这些信息来解决数学问题。学生的作用是记住所呈现的信息，然后用它来解决家庭作业、测验和考试中的常规问题。”

后者应该是“让学生参与促进推理和解决问题的任务，并促进讨论，使学生对数学形成共同的理解。学生的作用是积极参与理解数学任务，通过使用各种策略和表示方法、证明解决方案、与先前的知识或熟悉的上下文和经验建立联系，并考虑他人的推理。”

与他们周围的世界联系起来

该框架指出，数学对大多数学生来说不起作用，因为他们没有上下文或与他们每天所学内容或周围世界的联系。一年被分成“力量标准”单元，这些单元单独教授，用一种程序演示，然后进行评估，然后再继续下一个单元。

另一种方法是激发学生的求知欲，目标是建立对数学思想的深刻理解。课程应该从学生提出的关于数学的问题开始，并从那里探索。教师应该将课程锚定在每个年级的“大思想”上，这些大思想将标准集群连接在主题（如数感）内，并跨领域连接，以展示代数与几何的关系。三年级的大思想包括分数作为关系和 100 以内的数字灵活性；六年级，它们包括变量之间的关系。

Sampson 说：“该框架说，我们真的需要确保概念先于程序，以便提供理解，这样当我们以后进入这些步骤时，我们就能理解其背后的原因。它不再是一个谜。”

Stevenson 说，一位老师可能会这样开始：“情况是这样的：你注意到了什么，又想知道什么？这里有一堆我们今天要谈论的事情。你已经知道哪些了？” 答案将引向解决它所需的程序，无论是如何做两位数乘法还是计算圆柱体的体积。[pullquote size='medium' align='right' citation="Cole Sampson, administrator of professional learning and student support, Kern County superintendent’s office”]‘该框架说，我们真的需要确保概念先于程序，以便提供理解，这样当我们以后进入这些步骤时，我们就能理解其背后的原因。它不再是一个谜。’[/pullquote]“仅仅是这些大思想的想法就很重要，这样老师们就不会觉得自己是在孤立地教东西，”Buellton Unified 的学习协调员 Vicki Murray 同意，她曾任教小学数学。“Jo Boaler 真的做了一件了不起的工作，展示了高空视角，即这个想法与数学的所有其他不同部分相关联。” Buellton 是圣巴巴拉北部的一个有 600 名学生的学区。

Stevenson 说：“很多 K-6 老师对此感到非常兴奋，而且他们觉得很有道理。” “实际上，它要求他们以与他们教授许多其他事物相同的方式来教授数学”，比如下一代科学标准。但高中教师可能会对这种方法感到迷茫，并被围绕教师应该设计课程的复杂的一套量规所困扰。

Stevenson 说：“我支持我们需要以不同的方式教学的观点。我确实同意我们现在所做的事情不起作用。我们试图教得太多太快。” “我想知道他们（作者）试图表达的观点是否有一种更简单的表述方式。” 她说，在一节课结束时，学生们可能会带着“对他们应该学到的东西的模糊概念”离开。

Tom Loveless 是一位教育研究员，现在住在萨克拉门附近，曾是布鲁金斯学会的高级研究员，也是一本关于共同核心标准的书的作者，他对此框架的理念给出了严厉的评价。他说，作者创造了关于“概念理解先于程序流利性”的需要的“虚假二分法”。好的老师两者都教。

他说，数学框架应该围绕共同核心标准的内容组织，而不是围绕“关于过程的相当模糊的想法”。

他说，他对那些认为数学事实和程序教学不佳的批评者表示同情。“但将其推到幕后将会付出代价。”

他说：“以前的框架非常清楚，数学流利性包括速度和准确性。拟议的框架拒绝将速度作为流利性的一部分，这是一个问题。”[pullquote size='medium' align='right' citation="Tom Loveless, education researcher”]‘以前的框架非常清楚，数学流利性包括速度和准确性。拟议的框架拒绝将速度作为流利性的一部分，这是一个问题。’[/pullquote]他在最近发表的一篇文章中写道，在长期记忆中学习和存储的数学事实可以在学生承担更复杂的认知任务时毫不费力地被检索出来。与共同核心标准的要求相反，该框架要求将乘法和除法表中的流利性推迟到小学高年级。这种延迟将会延续下去，他预计在九年级，准备学习代数的学生会减少。

这是 Jane Molnar 的经历，她作为一名数学专家在课堂上工作并作为一名导师，已经教了 43 年的数学。“如果你没有掌握一年级、二年级、三年级的某些东西，而是仅仅探索和谈论数字，孩子们就跟不上了。当同样的事情持续到中学时，那些不知道如何轻松地使用除法算法进行除法的学生会发现试图在代数中划分多项式太复杂了。”

培训是必不可少的

该框架的支持者一致认为，密集的培训将至关重要，对于缺乏强大内容知识的教师来说，这将是一项艰巨的任务。

Sampson 说：“对于那些对如何教授数学有非常严格的例行公事的人来说，肯定会在前期引起一些不适。”

Brown 说，他最大的希望是该框架“将真正影响教师思考如何教学和与学生互动的方式”。他最大的担忧是“该州不会真正充分资助推广工作，也不会为教师提供他们真正实施它所需要的支持。”

与 Brown 一样，该框架的原始作者表示，回报将是巨大的。

Boaler 说：“该框架的使命之一是摆脱只有一些学生才能达到高水平数学的思维方式，并向每个人开放这门美丽的数学学科。”

索诺玛州立大学的数学教授 Ben Ford 说：“如果我的学生开始来到大学，将数学理解为一套用于探索他们真正感兴趣的问题的视角，我将欣喜若狂。而这就是该框架的目标之一。”

然而，Loveless 预测历史将会重演。

正如现在越来越多的家长要求结束整体语言教学，采用具有基本读写能力的阅读课程一样，家长们在看到数学方面的结果不佳后，将在几年内要求做出改变，就像他们在 90 年代所做的那样，他说。

Loveless 说：“数学事实对于数学来说，就像语音学对于阅读一样。”

EdSource 最初发布了这篇文章。